top of page

Доза STEM: вращение в 3D с кватернионами

Aditi

Люди способны визуализировать только 3 измерения. Как ни странно, мы воспринимаем только два измерения. Глубина, которую, как нам кажется, мы видим, - это всего лишь уловка - иллюзия, которую наш мозг усвоил после многих лет эволюции. Это то, что сделало открытие, что 4-х мерные числа необходимы для описания вращения в 3D, тем более захватывающим.

Визуализируйте вращение Земли в отличие от вращающейся летающей тарелки. Каждая точка на окружности фрисби движется одинаково, но если вы посмотрите на землю, каждая точка на поверхности движется с разной скоростью в зависимости от расстояния от экватора. Точки, через которые проходит ось вращения, вообще не перемещаются. Это то, что привело Уильяма Гамильтона к выводу, что не хватало целого измерения чисел для описания этого вращения.

Вращения в 3D - это просто проекции того, что происходило в четвертом измерении. Это похоже на то, как трехмерные объекты имеют двумерную тень. Таким образом, вращение объекта с использованием кватернионов будет иметь соответствующую проекцию в 3D, которую мы сможем наблюдать.

Любой кватернион q может быть представлен как q = A + Bi + Cj + Dk, где A, B, C и D - действительные числа, а i, j и k - единичные векторы, соответствующие осям.

Подобно векторам, I умножить на j равно k, j умножить на k равно I и k умножить на I, будет j, и умножение в противоположном порядке дает ту же величину со знаком минус. Кроме того, i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 = ijk


Одним из важных отличий является то, что умножение кватернионов НЕ коммутативно.

Сопряжение кватерниона A + Bi + Cj + Dk задается как A - (Bi + Cj + Dk), аналогично комплексным числам.

Таким образом, вращение любой точки x, заданной как Xi + Yj + Zk, задается формулой

x '= q x q', где q - кватернион, на который должна быть повернута точка, q '- сопряженное, а x - точка

Чтобы визуально представить использование кватернионов и увидеть их практическое применение, посмотрите это исследуемое видео.


Перевод на русский язык Дарьи Смук.

 

Recent Posts

15% IS HARD TO IGNORE.
We're dedicating 15% of our ad space to #WeThe15.
  • Medium
  • LinkedIn
  • Youtube
  • Instagram

Disclaimer

The material contained in our website is for information and educational purposes only. The views and opinions expressed on the blog belong solely to the original authors of the opinions and can't be attributed to other writers. STEM 4 Everyone has no control over content by third-parties and accepts no liability. All website designs were created using Canva software.

© 2023 by STEM 4 Everyone.

bottom of page