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STEM 小知识: 用四元数进行三维旋转

  • Aditi
  • Mar 17, 2021
  • 1 min read

人类只能够视觉化3维。令人惊讶的是,我们所感知到的只是二维空间。自己看到的深度只是一个把戏--我们的大脑经过多年的进化而学会的一种幻觉。这就是为什么发现需要四维数字来描述三维旋转的原因,这一点更加令人振奋。

把地球的旋转看作是一个旋转的飞盘。飞盘圆周上的每一个点都以同样的方式运动,但如果你看地球,表面上的每一个点都以不同的速度运动,基于与赤道的距离。自转轴经过的点根本就不移动。这就是威廉-汉密尔顿的结论,他认为缺少的是一整维的数字来描述这种旋转。


三维的旋转只是在四维中发生的事情的投影。这类似于三维物体有一个二维的阴影。因此,使用四元数旋转物体将有一个相应的三维投影,我们将能够观察到。

任何四元数q可以表示为q=A+Bi+Cj+Dk,其中A、B、C和D是实数,i、j和k是对应于轴的单位向量。

Quaternions graph

与向量类似,I乘以j是k,j乘以k是I,k乘以I是j,以相反的顺序相乘,可以得到相同的幅度,但要有减号。另外,i^2 = j^2 =k^2= -1= ijk


一个关键的区别是,四元数的乘法不是换元的。

四元数A+Bi+Cj+Dk的共轭是由A-(Bi+Cj+Dk)给出的,与复数类似。

因此,任何点x的旋转,如Xi+Yj+Zk,由以下公式给出

x' = q x q' 其中q是点要旋转的四元数,q'是共轭物,x是点。

为了直观地了解四元数的用法并见证其实际应用,请看这个视频

Translated into Mandarin by Han Yuyi

 
 
 

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