STEM 小知识: 用四元数进行三维旋转

人类只能够视觉化3维。令人惊讶的是，我们所感知到的只是二维空间。自己看到的深度只是一个把戏--我们的大脑经过多年的进化而学会的一种幻觉。这就是为什么发现需要四维数字来描述三维旋转的原因，这一点更加令人振奋。

把地球的旋转看作是一个旋转的飞盘。飞盘圆周上的每一个点都以同样的方式运动，但如果你看地球，表面上的每一个点都以不同的速度运动，基于与赤道的距离。自转轴经过的点根本就不移动。这就是威廉-汉密尔顿的结论，他认为缺少的是一整维的数字来描述这种旋转。

三维的旋转只是在四维中发生的事情的投影。这类似于三维物体有一个二维的阴影。因此，使用四元数旋转物体将有一个相应的三维投影，我们将能够观察到。

任何四元数q可以表示为q=A+Bi+Cj+Dk，其中A、B、C和D是实数，i、j和k是对应于轴的单位向量。

与向量类似，I乘以j是k，j乘以k是I，k乘以I是j，以相反的顺序相乘，可以得到相同的幅度，但要有减号。另外，i^2 = j^2 =k^2= -1= ijk

一个关键的区别是，四元数的乘法不是换元的。

四元数A+Bi+Cj+Dk的共轭是由A-（Bi+Cj+Dk）给出的，与复数类似。

因此，任何点x的旋转，如Xi+Yj+Zk，由以下公式给出

x' = q x q' 其中q是点要旋转的四元数，q'是共轭物，x是点。

为了直观地了解四元数的用法并见证其实际应用，请看这个视频。

Translated into Mandarin by Han Yuyi