Dose de STEM : Il est temps de laisser nos âmes spiraler avec des fractales (pas seulement congelées

Note de l'auteur : Cet article nécessite une connaissance de base de concepts tels que les nombres complexes et les fonctions, qui sont enseignés au lycée. Bien que cet article ne soit pas très mathématique, si vous n'êtes pas au courant de certains de ces concepts, vous risquez d'en trouver certaines parties déroutantes. Vous pouvez toutefois lire cet article pour le plaisir, car il s'agit d'une brève introduction au vaste concept des fractales.

Que sont les fractales ?

Certaines personnes se souviennent peut-être de la mention du mot "fractales" dans la chanson Let it Go d'Idina Menzel dans le film Frozen. Mais que signifie ce mot ?

Lorsqu'on observe une fougère, on voit de nombreuses petites feuilles d'apparence similaire se ramifier à partir d'une plus grande - les parties individuelles des plantes ont exactement la même apparence que la plante entière. En mathématiques, cette propriété s'appelle l'autosimilarité ; les formes qui illustrent cette propriété sont appelées fractales. L'autosimilarité est une propriété cruciale des fractales. Elle fait référence à l'imbrication infinie d'une forme à toutes les échelles.

Mais cette propriété n'est pas suffisante pour définir une fractale. Nous devons également tenir compte des dimensions. Combien de dimensions a une ligne ? On sait qu'une ligne n'en a qu'une, qu'un carré en a deux et qu'un cube en a trois. Mais qu'en est-il d'une fractale comme le triangle de Sierpinski ci-dessous ? Les mathématiciens ont découvert que la dimension d'un triangle de Sierpinski est d'environ 1,585, ce qui n'est pas un nombre entier !

Comment cela est-il possible ? C'est une propriété étrange des fractales, et cette dimension est appelée dimension fractionnelle ou dimension de Hausdorff. Une autre façon de définir les fractales est donc de dire que ce sont des "formes ayant une dimension non-intégrale/fractionnelle/Hausdorff". Parmi les fractales les plus connues figurent, bien sûr, le triangle de Sierpinski, les joints d'Apollon et l'ensemble de Mandelbrot, qui seront abordés dans les sections suivantes de cet article. Remontons dans le temps pour comprendre ces structures intrigantes.

Sierpinski Triangle

Les ensembles de Julia et de Mandelbrot

Le terme "fractale" a été inventé en 1975 par un mathématicien du centre de recherche d'IBM, Benoit Mandelbrot, qui l'a dérivé du mot latin "fractus", qui signifie brisé ou irrégulier. Mais de nombreux mathématiciens travaillaient sur les fractales avant même l'apparition de ce terme. En 1918, deux mathématiciens, Gaston Julia et Pierre Fatou, ont travaillé indépendamment sur les itérations dans un plan complexe en utilisant l'équation f(z) = z^2 + c, où c est une constante. Pour chaque valeur de "c", cette équation produit une fractale, c'est-à-dire que lorsque l'on trace chaque valeur de f(z) sur un plan complexe - similaire à un plan cartésien, c'est-à-dire le plan x-y ordinaire mais pour des nombres complexes (nombres de la forme "a + bi", où i = √-1) - on obtient des fractales. L'ensemble des points s'appelle l'ensemble de Julia. Malheureusement, à l'époque, il était difficile de visualiser ce à quoi ressemblerait l'ensemble de points de Julia, car on ne disposait pas de la technologie pour cela. C'est là que Mandelbrot, le père de la géométrie fractale, entre en scène.

En 1980, Mandelbrot a développé les ensembles de Julia grâce aux capacités technologiques des ordinateurs IBM et a essayé d'itérer les équations, c'est-à-dire d'utiliser la première sortie de l'équation comme entrée suivante. Grâce aux ordinateurs, il a pu traiter et manipuler les chiffres un million de fois et représenter graphiquement les résultats. Il a obtenu une image particulière ressemblant à un insecte écrasé (voir ci-dessous), mais avec de belles subtilités. Cette structure est maintenant appelée l'ensemble de Mandelbrot, qui se compose de nombreuses valeurs de "c" pour lesquelles la séquence commençant à z = 0 ne va PAS à l'infini. Cette structure complexe et magnifique est l'exemple le plus populaire de fractale. Sa dimension de Hausdorff est de 2 (Confus ? Consultez cet article de NewScientist sur la dimension intégrale de l'ensemble).

The Mandelbrot Set and its Intricacies

Courbes de Koch / Flocons de neige

Les courbes ou flocons de neige de Koch sont également des fractales bien connues. Les flocons de neige de Koch sont générés par les côtés d'un triangle équilatéral. Une protubérance triangulaire est construite au tiers central du côté, et ce processus est itéré de façon continue, formant une fractale en forme de flocon de neige. Ce flocon de neige est basé sur la courbe où les itérations ont lieu sur une seule ligne. La dimension de Hausdorff d'une courbe de Koch est de 1,26 et est donc une fractale.

Comment on obtient la dimension de Hausdorff ? Dans une courbe de Koch, à chaque itération, quatre segments autosimilaires ont chacun ⅓ de la longueur du segment d'origine. Par conséquent, 3^δ = 4 et δ = log(4)/log(3) qui est égal à 1,26.

Flocon de neige de Koch

Triangle de Sierpinski et joints apolliniens

Un triangle de Sierpinski (comme vu ci-dessus) est une autre fractale générée à partir d'un triangle équilatéral (l'objet de départ est souvent appelé l'initiateur ; par exemple, l'initiateur d'une courbe de Koch est une ligne) divisé de façon répétée en triangles plus petits. Elle est constituée de trois morceaux de triangles autosimilaires correspondant aux trois fonctions qui sont itérées. Le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski a été la première personne à penser aux propriétés de ce triangle, et c'est pourquoi ce triangle est nommé en son honneur.

Par ailleurs, les joints apolloniens sont constitués de cercles tangents les uns aux autres. Le premier mathématicien à s'être penché sur ce concept est Apollonius de Perga, un mathématicien et astronome grec qui a vécu au IIIe siècle avant J.-C. Les joints d'Apollon sont les premières fractales connues et leur dimension de Hausdorff est d'environ 1,30568. Il existe un joint d'Apollon pour chaque valeur de "n" telle que les courbures ou les flexions (l'inverse des rayons) sont de la forme -n, n + 1, n(n + 1), n(n + 1) + 1.

Un croisement entre les mathématiques et l'art

Si les fractales sont répandues dans l'art, la répétition des motifs est un défi artistique. La peinture du célèbre artiste japonais Katsushika Hokusai, La grande vague de Kanagawa,

(peint en 1820), est un excellent exemple de l'utilisation des fractales dans l'art. Dans ce tableau, une énorme vague océanique est représentée comme se brisant en de plus petites vagues autosimilaires.

Un autre exemple est celui d'un artiste dont beaucoup de gens ont certainement entendu parler - Léonard de Vinci. Son dessin, Turbulence, est en fait un diagramme qu'il a dessiné en étudiant la mécanique des fluides. Ce dessin montre clairement les fractales dans les ondulations et les bulles d'eau.

L'artiste moderne Jackson Pollock est célèbre pour ses peintures à gouttes fractales. De nombreuses personnes ont tenté de reproduire les fractales de Pollock, sans succès.

Les fractales sont l'un des concepts les plus intrigants qui réunissent les mathématiques et l'art. Elles sont également très répandues dans la nature : on peut les voir sur le brocoli Romanesco, les graines de pommes de pin, les rivières et les côtes (vues d'en haut), les branches d'un arbre, les feuilles et, bien sûr, les flocons de neige.

Applications des fractales

Beaucoup de gens pensent que les fractales sont jolies mais n'ont aucune utilité dans la vie réelle. En fait, c'est le cas. Par exemple, dans le domaine de l'informatique, les fractales sont largement utilisées pour la compression des images. Grâce aux fractales, les images sont compressées bien plus que par les moyens habituels, comme les formats JPEG. L'autre avantage de la compression d'images par fractales est que lorsque les images sont agrandies, il n'y a pas de pixellisation ! Les fractales sont utilisées dans le domaine de la mécanique des fluides pour étudier les turbulences dans l'eau (comme l'a fait Vinci), ainsi que dans les sciences pétrolières pour étudier les milieux poreux. Dans le domaine des télécommunications, les scientifiques ont eu l'idée d'une antenne en forme de fractale, afin de créer une alternative légère et plus petite aux antennes conventionnelles. Grâce aux concepts de la géométrie fractale, la plupart des phénomènes observés dans la nature peuvent être modélisés visuellement. Par exemple, nous pouvons utiliser les fractales pour modéliser l'érosion des sols et analyser les modèles sismiques. Les fractales mettent en évidence une grande complexité issue de la simplicité.

"La géométrie fractale n'est pas seulement un chapitre des mathématiques, mais un chapitre qui aide chaque homme à voir le même monde différemment." ~ Benoit Mandelbrot

Sources

1. Fractales et dimension fractale (Université Vanderbilt) : https://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Fractals.html

2. M. Frame, B. Mandelbrot, N. Neger ; 2 septembre 2021 ; "Fractal Geometry" (Yale University) : https://users.math.yale.edu/public_html/People/frame/Fractals/IntroToFrac/InitGen/InitGenKoch.html

3. Géométrie fractale (IBM) : https://www.ibm.com/ibm/history/ibm100/us/en/icons/fractal/

4. Krzysztofik, Wojciech. (2017). Les fractales dans les applications des antennes et des métamatériaux. https://doi.org/10.5772/intechopen.68188.

Sources d'Images:

1. Les turbulences de Da Vinci : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Etudes_turbulences_-_L%C3%A9onard_de_Vinci.jpg

2. La grande vague de Kanagawa : https://www.publicdomainpictures.net/en/view-image.php?image=76219&picture=the-great-wave-kanagawa

3. Triangle de Sierpinski : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sierpinski-rgb.png

4. Flocon de neige de Koch : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:KochFlake.png

Translated to French by Samantha Donato