Доза STEM: вращение в 3D с кватернионами

Люди способны визуализировать только 3 измерения. Как ни странно, мы воспринимаем только два измерения. Глубина, которую, как нам кажется, мы видим, - это всего лишь уловка - иллюзия, которую наш мозг усвоил после многих лет эволюции. Это то, что сделало открытие, что 4-х мерные числа необходимы для описания вращения в 3D, тем более захватывающим.

Визуализируйте вращение Земли в отличие от вращающейся летающей тарелки. Каждая точка на окружности фрисби движется одинаково, но если вы посмотрите на землю, каждая точка на поверхности движется с разной скоростью в зависимости от расстояния от экватора. Точки, через которые проходит ось вращения, вообще не перемещаются. Это то, что привело Уильяма Гамильтона к выводу, что не хватало целого измерения чисел для описания этого вращения.

Вращения в 3D - это просто проекции того, что происходило в четвертом измерении. Это похоже на то, как трехмерные объекты имеют двумерную тень. Таким образом, вращение объекта с использованием кватернионов будет иметь соответствующую проекцию в 3D, которую мы сможем наблюдать.

Любой кватернион q может быть представлен как q = A + Bi + Cj + Dk, где A, B, C и D - действительные числа, а i, j и k - единичные векторы, соответствующие осям.

Подобно векторам, I умножить на j равно k, j умножить на k равно I и k умножить на I, будет j, и умножение в противоположном порядке дает ту же величину со знаком минус. Кроме того, i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1 = ijk

Одним из важных отличий является то, что умножение кватернионов НЕ коммутативно.

Сопряжение кватерниона A + Bi + Cj + Dk задается как A - (Bi + Cj + Dk), аналогично комплексным числам.

Таким образом, вращение любой точки x, заданной как Xi + Yj + Zk, задается формулой

x '= q x q', где q - кватернион, на который должна быть повернута точка, q '- сопряженное, а x - точка

Чтобы визуально представить использование кватернионов и увидеть их практическое применение, посмотрите это исследуемое видео.

Перевод на русский язык Дарьи Смук.