Dose de STEM : Rotation en 3D avec les quaternions

Dose de STEM : Rotation en 3D avec les quaternions

Les humains ne sont capables de visualiser que trois dimensions. Ce que nous percevons, étonnamment, n'est qu'en deux dimensions. La profondeur que nous pensons voir n'est qu'un leurre, une illusion que notre cerveau a apprise après des années d'évolution. C'est ce qui a rendu d'autant plus fascinante la découverte que des nombres en 4 dimensions sont nécessaires pour décrire la rotation en 3D.

Visualisez la rotation de la terre par opposition à un frisbee qui tourne. Chaque point de la circonférence du frisbee se déplace de la même manière, mais si vous regardez la Terre, chaque point de la surface se déplace à une vitesse différente en fonction de la distance par rapport à l'équateur. Les points par lesquels passe l'axe de rotation ne bougent pas du tout. C'est ce qui a amené William Hamilton à conclure que ce qui manquait, c'était une dimension entière de nombres pour décrire cette rotation.

Les rotations en 3D ne sont que des projections de ce qui se passait dans la quatrième dimension. C'est similaire à la façon dont les objets 3D ont une ombre en 2 dimensions. Ainsi, la rotation de l'objet à l'aide de quaternions aura une projection correspondante en 3D que nous pourrons observer. Tout quaternion q peut être représenté par q = A + Bi + Cj + Dk où A, B, C et D sont des nombres réels et i, j et k sont des vecteurs unitaires correspondant aux axes.

Comme pour les vecteurs, I fois j est k, j fois k est I et k fois I est j. En multipliant dans l'ordre inverse, on obtient la même grandeur avec un signe moins. De même, i^2 = j^2 =k^2= -1= ijk

Une différence cruciale est que la multiplication des quaternions n'est PAS commutative.

Le conjugué d'un quaternion A + Bi + Cj + Dk est donné par A - (Bi+Cj+Dk), comme pour les nombres complexes.

Ainsi, la rotation d'un point x donné comme Xi + Yj+ Zk est donnée par

x' = q x q' où q est le quaternion par lequel le point doit être tourné, q' est le conjugué et x est le point.

Pour visualiser l'utilisation des quaternions et voir leur application pratique, regardez cette vidéo explicative.

Translated to French by Samantha Donato